3年前に取得した子のパスポートの署名は母親が代筆していますが、今では本人が署名できるようになりました。外国で署名するときにはパスポートと同じように母親が代筆しなければならないですか。

一定年齢以下の子については、入国カードへの署名も親が代筆するよう求められることが多く、小さな子が外国で署名することはほとんどありません。
ただし、子が単独で海外旅行する場合には本人が署名する必要があります。その場合には、パスポートのサインが母親の代筆であっても、本人が自分の名前で署名してください。